Les matrices de Léontieff et le TESen comptabilté nationale

TD n° 1 de collaboration mathématiques et SES : matrice de Léontieff 

TD rédigée par mme Mira professeure de mathématiques du lycée pour les élèves de première ESA de spécialité mathématiques, l'apport des sciences économiques est réduit puisque les TES ne sont plus au programme de première, il se limite à présenter aux élèves l'intérêt d'u calcul matriciel pour l'économie

le professeur de SES intervient dans le cours de maths  pour le second TD en présence et en complémentarité de la collègue de mathématiques

 on pourra effectuer les calculs avec la calculatrice.

 Soit un pays fictif sans échanges extérieurs, dont l'économie très simplifiée se décompose en deux branches seulement : l'agriculture et l'industrie.

L'agriculture : la production est de 500 K€ répartie en consommations intermédiaires :

×     200 K€ consommés par l'industrie (industrie agro-alimentaire, ...)

×     50 K€ consommés par l'agriculture elle-même (engrais verts, ...)

et le reste en consommation finale, soit 250 K€, disponible pour satisfaire les besoins de la population.

L'industrie : la production est de 2 500 K€ répartie en consommations intermédiaires :

×     150 K€ consommés par l'agriculture (engrais chimique, énergie, machines, ...)

×     550 K€ consommés par l'industrie elle-même (énergie, machines, ...)

et le reste en consommation finale, soit 1 800 K€, disponible pour satisfaire les besoins de la population.

1. (a) Écrire le vecteur-colonne P des productions.

    (b) Écrire le vecteur CF des consommations finales.

2. Recopier et compléter le tableau d'échanges inter-branche ci-dessous : le nombre inscrit à l'intersection de la ligne i et de la colonne j est la partie de la production de la branche i, consommée par la branche j.

3. La matrice des coefficients techniques est définie de la manière suivante :

aij =

La matrice des coefficients techniques est donc de la forme : A =

 où 200  est la consommation en produit agricole par l'industrie et où 2 500  est la production de l'industrie.

Compléter la matrice A et en donner une forme simplifiée.

4. (a) Calculer A × P et vérifier que l'on obtient le vecteur-colonne des consommations intermédiaires.

    (b) Exprimer par une égalité de matrices la relation :

production = consommations intermédiaires + consommation finale

    (c) Vérifier que (I₂ − A) × P = CF  équivaut à  P = A × P + CF, où I₂ est la matrice identité d'ordre 2.

La matrice I₂ − A est la matrice de Léontief, notée L.

Calculer L et, avec les données du problème, vérifier l'égalité L × P = CF .

5. On admet que la matrice A reste stable.

   (a) La production agricole augmente de 10%. En utilisant l'égalité L × P = CF , calculer les nouvelles consommations finales.

   (b) Faire de même pour une diminution de 5% de l'industrie.  

6. On souhaite augmenter la consommation finale en produit agricole de 14, 8% et celle de la production industrielle de 3.5%.

   (a) Montrer que la recherche des nouvelles productions nécessaires revient à résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues, que l'on donnera  sous forme matricielle.

    (b) Résoudre ce système à l'aide de la calculatrice (il est inutile d'expliciter L⁻¹).

TD n° 2 : matrice de Léontieff :  aplications économiques

on se ramènera systématiquement à des opérations sur les matrices, qui seront effectuées à la calculatrice.

 Voici pour l’année 2192 le TES simplifié d’une économie à deux branches et deux produits dont la monnaie est le brouzouf :

  millions de brouzoufs

1) a) Transformez le tableau « Entrées intermédiaires » en une matrice de coefficients techniques, que l’on appellera A.

Rappel : La matrice des coefficients techniques est définie de la manière suivante :

aij =

b) Ecrire de même le vecteur colonne B des productions et le vecteur colonne C des demandes finales.

c) Entrer ces trois matrices dans la calculatrice.

 2) On rappelle que la matrice de Léontieff est la matrice L telle que L ´ B = C et qu’elle se calcule par L = I₂ – A. Calculer cette matrice et la mettre dans la mémoire D de la calculatrice.

 3) On veut déterminer de combien les emplois finals peuvent augmenter sous contrainte d’une production de P inférieure ou égale à 220 et d’une production de Q inférieure ou égale à 350 (en millions de brouzoufs). Pour cela,

  a) transformer la matrice B des productions en supposant atteinte la limite supérieure ;  

  b) écrire le produit matriciel qu’il faut effectuer pour obtenir la nouvelle matrice C des demandes finales, sous l’hypothèse que la matrice A des coefficients techniques reste inchangée.

  c) effectuer ce calcul.

4) On veut déterminer de combien les branches P et Q doivent  accroître leurs productions pour que les emplois finals puissent augmenter de 10 millions de brouzoufs chacun.

  a) Transformer la matrice C des demandes finales.

  b) Ecrire le produit matriciel qu’il faut effectuer pour obtenir la nouvelle matrice des productions, toujours en supposant A inchangée ; 

  c) Répondre à la question posée.